موضوع: <-PostCategory-> سه شنبه 13 ارديبهشت 1391برچسب:,

11:6

  هندسه

 

هندسه(geometry) که آن را از ریشه یونانی(geometers) می دانند به معنای مساحی و نقشه برداری است.

یونانیان هندسه مبتنی بر برهان و اثبات را نظم و ترتیب دادند، فیثاغورث اصول اولیه آن را به منزله پایه منطق هندسی بسط داد و نتایج آن توسط اقلیدس به صورت خلاصه درآمد.

تناسبات و زیبایی و هماهنگی جهان و رابطه موسیقیایی بین اجزاء جهان به عنوان زیربنای طبیعت به فیثاغوریان نخستین در یونان باستان باز می گردد. اساس هندسه قرن ها تغییری نکرد، به ویژه تا قرن هفدهم که رنه دکارت با ترکیب هندسه و جبر، هندسه تحلیلی را بنیان نهاد، در قرن نوزدهم هندسه نا اقلیدسی یا هندسه ریمانی اصول اولیه و کلیدی هندسه را زیر و رو کرد. اخیراً از هندسه فراکتال سخن می‌رود.

شکل از تحدید فضای ساخته شده نتیجه می شود، اعداد آحاد این تعین فضائی اند و هندسه مبین «تشخص» این اعداد.

 انتظام و تناسب به منزله قوانینی کیهانی اند و بر عهده آدمی است تا فرایند ایشان را از راه حساب ، هندسه و هماهنگی دریابند. نسبت شکل با تناسب همانگونه است که نسبت نواخت (ریتم) به زمان و هماهنگی به صدا.

 

احجام افلاطونی

 

 وحدت و سادگی نهفته در احجام افلاطونی مانند چهاروجهی منتظم به مثابه ساده‌ترین جسم ، با هشت وجهی و بیست وجهی منتظم در یک دست و مکعب و دوازده وجهی در دست دیگر، در ذرات افلاطونی بیش از دو هزار سال نقش محوری داشته است. از آرایش این عناصر، طی قرن ها ترکیبات بسیاری نشأت گرفته که در پی بیان معرفت کائنات و مفاهیم لاهوتی و فوق طبیعی بوده و نیز افسانه شناسی سرشاری را موجب شده که هنوز هم ما آن را به مثابه جوهر و اصل علم سنتی می شناسیم۱. گامبریج در کتاب خود: احساس نظم ضمن اشاره به رساله تیمائوس اثر افلاطون ارتباط میان ترکیب احجام افلاطونی با عناصر اربعه را نشان می دهد. بدین قرار که در رساله تیمائوس اثر افلاطون درباره اجزاء تشکیل دهنده اصلی و بنیادی جهان سخن از این آغاز می شود که خلاء وجود ندارد. جهان ساختاری است پر از اجسام صلب و سه بعدی و مانند اتم که هر یک از عناصر اربعه در آن با اجسام منظم تناظر و توافق دارد. آنگاه که مشیت الهی بر این قرار گرفت که جهان را از آشوب و بی نظمی بیافریند (  بی نظمی را به نظم مبدل ساخت ) نخست آن را به وسیله اشکال و اعداد مشخص نمود، به مانند کار قالب سازی که عناصر اصلی و بنیادی کارش از مثلث تشکیل شده باشد، از میان چهار عنصر آتش و خاک و آب و هوا، مکعب (شش وجهی منتظم) را به خاک، چهار وجهی منتظم را به آتش، هشت وجهی منتظم را به هوا و بیست وجهی منتظم را به آب و آخر دوازده وجهی منتظم را به آرایش جهان نسبت داد.

کره بر تمام این احجام محیط می شود. کره شکلی است مظهر کمال، تمامیتی است که همه امکانات در جهان محدود را شامل می شود و شکل آغازینی است که کلیه اشکال دیگر  و به ویژه در بحثی که در اینجا پیش گرفته ایم، پنج چندوجهی منتظم معروف به اجسام افلاطونی را در بر می گیرد.

برخی از متفکران اسلامی مانند ابوریحان بیرونی از رابطه میان اشکال منتظم و عناصر چهارگانه به پیروی از افلاطون در رساله تیمائوس سخن گفته اند. بیرونی بدون بسط افکار افلاطون تنها به ذکر آن پرداخته است.

 افلاطون در رساله تیمائوس گفته است:

اگر آتش نباشد مشکل است چیزی را بتوان دید، و اگر سختی نباشد نمی توان لمس کرد، و بدون خاک سختی نیست. از این رو صانع چون شروع به ساختن جسم جهان کرد نخست آتش و خاک را به هم آورد  و با (دو رابط) آب و هوا را در وسط خاک و آتش قرار داد و در میان همه آنها تناسبی واحد برقرار ساخت تا نسبت آتش به هوا عیناً چون نسبت هوا به آب، و نسبت هوا به آب مانند نسبت آب به خاک باشد، و از امتزاج و پیوند آنها جهانی دیدنی و قابل لمس به وجود آورد. بدین ترتیب از پیوند این چهار عنصر، جسم جهان پدید آمد و در پرتو تناسب، توازن و هماهنگی در دوران او حکمفرما گردید سپس صانع جهان شکلی هم به او داد که در خور اوست و با ذات او خویشی دارد: برای هر موجود زنده ای که باید بر همه موجودات زنده محیط باشد شکلی برازنده است که محیط بر همه اشکال دیگر است. از این رو جهان را گرد کرد و به شکل کره درآورد، چنان که فاصله مرکز آن با هر نقطه از محیطش یکسان شد. این شکل کامل ترین اشکال دیگر برتری دارد و سازنده این جهان برابری را هزار بار زیباتر از نابرابری یافت استاد روح را در مرکز جهان قرار داد و به گسترش آن در سراسر وجود جهان قناعت نورزید بلکه تن جهان را از بیرون نیز با آن بپوشانید. بدین سان کل جهان را به صورت کره ای درآورد که دارای حرکتی دورانی است. صانع جهان روح را چنان آفرید که خواه از حیث زمان پیدایش و خواه از حیث کمال مقدم بر تن باشد.

اینکه آتش و آب و هوا و خاک جسمند بر کسی پوشیده نیست. اما از خصوصیات جسم یکی ارتفاع (= یا عمق) است و ارتفاع بالضروره مستلزم رویه (سطح) است و هر رویه هموار از مثلث هایی تشکیل یافته، مثلث ها اصولاً به دو نوع برمی گردند که هر یک دارای یک زاویه قائم و دو زاویه حاده است: یکی دارای دو ضلع برابر است و دو زاویه حاده آن نیز دو نیمه برابر یک زاویه قائمه است. در نوع دوم زاویه حاده دو بخش نابرابر زاویه قائمه ای هستند که به وسیله دو ضلع نابرابر به دو قسمت تقسیم شده است. از این رو اگر بخواهیم احتمال نزدیک به حقیقت را در قلمرو ضرورت نابینا پیدا کنیم ناچاریم عناصر اصلی آتش و اجسام دیگر را در این دو نوع مثلث جست وجو کنیم. عناصر اصلی تر و اولی تر را فقط خود خدا و آنان که خدا دوستشان دارد، می شناسد.

 

 

چند وجهی های افلاطونی

مجموعة اجسام منتظم از مشهورترین مجموعة چند وجهی ها در زمان باستان است. تائتتوس ریاضیدان یونانی(369-415 ق.م ) اولین کسی است که با آنها ریاضی گونه برخورد کرد.افلاطون(347-427 ق. م ) دوست تائتتوس ،چند وجهی های منظم را با کیهان شناسی خود در آمیخت.تیمائوس(کتاب افلاطون) در گفت گوی خود روی چهار عنصرکه همه چیز از آنها تشکیل شده است،بحث می کند. اجزای زمین به شکل مکعب هستند و به حالتی استوار روی قاعده شان قرار دارند. اجزای هوا که هشت وجهی های منتظم هستند، و اگر روی رئوس مخالف قرار گیرند، به آزادی می چرخند. اجزای آتش ، چهاروجهی های منتظم هستند. اجزای آب بیست وجهی و تقریبا" کروی هستند. و مانند مایعات می توانند بغلتند. اجزای تشکیل دهنده اتر 12 وجهی و بسیارسبک هستند. در قدیم تصور می شد تمام اجرام سماوی از مادة سبکی به نام اتر تشکیل شده اند که خاصیت چرخندگی دارند. 

در دوره رنسانس، زمانیکه نوشته های کلاسیک روم و یونان باستان با پشت سر گذاشتن سال های تاریک اروپادر دسترس قرار گرفت ، خداشناسان ، فلاسفه و دانشمندان کارهای افلاطون و اقلیدس را مورد مطالعه قرار دادند،و این مطالعه ها علاقة آنها به چند وجهی ها بر انگیخت. 

یوهانس کپلر آلمانی(1630-1571 )آرزوی بزرگش در زندگی این بود که بتواند تئوری خورشید مرکزی را تکمیل کند. او سادگی و هماهنگی این تئوری را به صورت لذتی باورنکردنی می نگریست. برای کپلر چنان الگوهایی از انتظام هندسی و رابطه های عددی سر رشته ای بود برای شناخت اندیشه خداوند او درصدد بود تا از راه تئوری خورشید مرکزی این الگو ها را بیشتر نمایان کند .در نخستین اثر بزرگ خود کوشید تا ترتیب و فاصله مدارهای سیارات را چنان که کپرنیک محاسبه کرده بود به نحوی از طریق اشکال هندسی توجیه کند کپلر به دنبال دلایلی می گشت تا دریابد چرا فقط شش سیاره قابل رویت وجود دارد و چرا با چنین ترتیبی قرارگرفته اند اینها مسائل ارزشمندی است که حتی امروزه پاسخ دادن به آنها بسیار دشوار است. 

کپلر فکر می کردکه کلید حل این مسائل در هندسه است.او به جستجویی میان شش سیارة شناخته شده پنج چند وجهی منتظم برآمد. او با استفاده از روش آزمایش خطا راهی برای آرایش چند وجهی ها به دست آورد.کپلر چند وجهی های منتظم را به دستگاه کوپر نیک و سیارات وارد ساخت و از آنها برای توجیه ترتیب و اندازة مدار سیارات استفاده کرد. طرح او مانند شکل پشت جلد است. زحل در کرة خارجی حرکت می کند که شامل یک مکعب است و یک کره در آن قرار دارد که مشتری روی آن حرکت میکند وخود شامل یک چهار وجهی منتظم است که کرة مریخ در آن قرار دارد.به همین ترتیب کرة مریخ شامل یک دوازده وجهی منتظم است،پس کرة زمین شامل یک بیست وجهی،کرة زهره شامل یک هشت وجهی و در نهایت کرة عطارد است. کپلرکشف خود را اتحاد میان عناصر زمینی و آسمان ها میدانست. 

او چنان از طرح خود به وجد آمده بودکه از دوستش دوک خواست که مدلی طلایی از چند وجهی های تودرتووکره ها برای نشان دادن طرح او به دنیا و توضیح جهان مرموز ساخته شود.کپلر می نویسد من ابعاد مدارهای سیاره ای را براساس اخترشناسی کوپرنیکی در نظر گرفتم که بر طبق آن خورشید در مرکز عالم ثابت است. و زمین هم به دور محور خود و هم به دور محور خورشید می چرخد، و نشان دادم که اختلاف های مدار های آنها با پنج شکل منظم فیثاغورثی تطبیق می کند. 

ما امروزه می دانیم که این آرایش کاملا تصادفی بوده است. برای کپلر این الگو هم فاصلة سیارات و هم شش عدد بودنشان را توضیح می داد و همچنین آن یگانگی را که کپلر در میان مشاهده های هندسی و علم جستجو می کرد در برداشت.

پیدایش احجام کیهانی از نگاه باستان

«تاکنون دورنمای حجم استعاره دیگری را برای نقش اصلی و همیشه خلاق مادی کردن روح و آفرینش شکل عرضه کرده است»

اسطوره کهن آفرینش ماخوذ از هلیوپولیس در مصر، نمونه ای از چگونگی این خیال بافی را بدست می دهد. نون، اقیانوس کیهانی، فضای محض و نامتمایز روح بدون شکل بیکران را ارایه می دهد.
آنچه بر هر جامعیت تقدم دارد نیروی محض است که با خواست خالق درون این نون قرار دارد، فضای نامتمایز بر آن شده است تا خود را در این حجم منعقد و ادغام کند. از این رو آتوم ( خالق ) در آغاز خود را خلق می کند یا با حجم بخشیدن به خویشتن خود را از نون تعریف نشدنی متمایز می کند تا آفرینش آغاز گردد.
پس حجم آغازین چه شکلی می توانست داشته باشد؟ در واقع اصلی ترین اشکال حجم پذیر کدامند؟

به نظر می رسد پنج حجم تصلی با لبه و زوایای بیرونی وجود داشته باشند. جسم چهار ضلعی ، هشت ضلعی : مکعب،دوازده ضلعی،بیست ضلعی و جلوه هایی از مثلث در حجم،مربع و پنج ضلعی ۵،۴،۳. مابقی حجمهای منظم فقط ناقص شده این پنج اند. این ۵ جسم فضایی نام افلاطونی گرفته اند چون فرض شده است که افلاطون اشکال مزبور را در تیمایوس در ذهن داشته است، گفتگویی که او در آن فلسفه نظم گیتی را از طریق استعاره هندسه فضایی و سطح طرح ریزی می کند. در این گفتگو که یکی از آثار کاملا فیثاغورثی اوست چهار عنصر اصلی جهان یعنی خاک،آب،باد،آتش تعیین و هر یک از این عناصر به یکی از اشکال فضایی نسبت داده می شود. در عرف مکعب را با زمین ، چهارضلعی را با آتش ، هشت ضلعی را با هوا و بیست ضلعی رابا آب پیوسته می دانند. افلاطون ( ترکیب معین پنجمی ) را ذکر می کند که برای ساختن کاینات به وسیله خالق به کار رفته است. بنابر این جسم دوازده ضلعی با عنصر اثیری ( اصل زندگی ساز در آیین ودایی ) پیوند دارد. سازنده کاینات افلاطون نظم و ترتیب را از میان بی نظمی کهن در قالب اعداد و اشکال آفرید.نظم بخشیدن بر حسب عدد و شکل در سطح بالاتر، از ترتیب تعمدی این ۵ عنصر در جهان فیزیکی نتیجه شده است.بنابراین اعداد و اشکال اصلی میان قلمرو های دانی و عالی به صورت بین وجهین عمل می کنند.آنها در خود از طریق تشابهاتشان با عناصر، دارای توان شکل بخشیدن به جهان مادی اند .

 

 

 

شکل های احجام افلاتونی :

 

 

 

 

 

 

 

چند وجهی های منتظم - بخش دوم

 

در بخش اول هدف این است که دانش آموزان با مشاهده ی اجسام و تصاویر روی کاغذ و تخته و با بحث کردن با هم با راهنمایی معلم، مفهوم منتظم بودن چندضلعی و نیز چندوجهی را درک کنند.

تعدادی تصویر چند ضلعی در اختیار دانش آموزان قرار دهید ( بهتر است قبل از شروع کلاس تخته را با تصاویر چند ضلعی‌ها پر کرده باشید

 

چند وجهی های منظم - بخش سوم

 

با نمایش کنج های یک مکعب توضیح دهید که برای ساختن یک چندوجهی باید در هر کنج تعدادی، حداقل سه عدد، چندضلعی منتظم مشابه را به هم بچسبانیم و تحقیق کنید آیا این کار را با هر چندضلعی می‌توان انجام داد؟

می دانیم که اگر از یک نقطه در صفحه تعدادی نیم خط خارج شود، مجموع زوایایی که این نیم خط ها با هم می سازند360 درجه خواهد بود.

 

پس"چندضلعی‌های منتظم مشابه" فقط در صورتی یک کنج تشکیل می‌دهند که مجموع زوایای تشکیل دهنده کنج کمتر از ۳۶۰ درجه باشد. یعنی زاویه چندضلعی کمتر از ۱۲۰ درجه باشد ( حداقل سه چندضلعی داریم ). بنابراین اگر بدانیم اندازه زاویه‌های یکm-ضلعی منتظم چقدر است پاسخ سوال اولیه هم روشن خواهد شد.

دانش آموزان باید فرمول اندازه زاویه هایm-ضلعی منتظم را از کتاب های درسی به خاطر داشته باشند. اما بهتر است از آن‌ها بخواهید که این فرمول را محاسبه کنند:

FPRIVATE "TYPE=PICT;ALT=" روی تخته محاسبه کنید:

۳ ضلعی منتظم ۶۰ درجه، ۴ ضلعی منتظم ۹۰ درجه، ۵ ضلعی منتظم ... ۶ ضلعی منتظم ۱۲۰ درجه ... ۷ ضلعی منتظم ...

بنابراین فقط با ۳ ضلعی، ۴ ضلعی و ۵ ضلعی منتظم می‌توان چندوجهی منتظم ساخت. حال از دانش اموزآن بخواهید همه کنج های ممکن را لیست کنند. برای این کار می‌توانید تعدادی چند ضلعی منتظم کاغذی و مقداری چسب در اختیار آن‌ها قرار دهید تا بتوانند کنج‌ها را به طور عملی بسازند و همین طور مشاهده کنند که ساختن بعضی از کنج‌ها ممکن نیست. لیست ساخته شده در پایان کار باید به شکل زیر باشد.

·        کنج ساخته شده از ۳ تا ۳-ضلعی منتظم ( مجموع زوایا ۱۸۰ درجه )

·        کنج ساخته شده از ۴ تا ۳-ضلعی منتظم ( مجموع زوایا ۱۸۰ درجه )

·        کنج ساخته شده از ۵ تا ۳-ضلعی منتظم ( مجموع زوایا ۱۸۰ درجه )

·        کنج ساخته شده از ۳ تا ۴-ضلعی منتظم ( مجموع زوایا ۱۸۰ درجه )

·        کنج ساخته شده از ۳ تا ۵-ضلعی منتظم ( مجموع زوایا ۱۸۰ درجه )

بعد از تکمیل لیست از آن ها بپرسید هر کدام از این کنج‌ها متعلق به کدام چند وجهی است. مثلآ به راحتی می‌توان حدس زد مورد دوم متعلق به یک مکعب است. اما بقیه موارد چطور؟ از دانش آموزان بخواهید سعی کنند تا آن جا که امکان دارد تصوری از این چندوجهی‌ها در ذهن خود داشته باشند و آن را توصیف کنند.

ممکن است در اینجا با معرفی چندوجهی های منتظم به دانش آموزان بوسیله تصویر یا ماکت و نشان دادن اینکه این چندوجهی‌ها کنج هایی با مشخصات بالا دارند، به کلاس خاتمه دهید و یا به سراغ بخش ساخت چندوجهی بروید. اما اگر فرصت بیشتری دارید و دانش آموزان علاقه مند هستند، می‌توانید بحث را با بخش بعد ادامه بدهید. در بخش بعد مشخصات این چندوجهی‌ها را به طور دقیق توضیح خواهیم داد و تعداد راس ها، ضلع‌ها و وجه های هرکدام را محاسبه خواهیم کرد. دیدن چندوجهی‌ها بعد از این مرحله می‌تواند جذاب تر باشد

 

چند وجهی های منظم - بخش چهارم

 

در این بخش می‌خواهیم به طور دقیق تصوری از چندضلعی هایی با کنج های مشخص شده به دست آوریم و بدانیم که هر کدام چند وجه، چندضلع یا چند رأس دارند. برای این کار باید رابطه ای بین تعداد عناصر سازنده ی یک چندوجهی یعنی رأس ‌ها، ضلع ‌ها و وجه ‌ها پیدا کنیم. ( در هر چندضلعی تعداد رأس‌ها و ضلع‌ها برابر است .

برای پیدا کردن این رابطه از دانش آموزان بخواهید این جدول را برای هر کدام از چندوجهی های زیر پر کنند. و سعی کنند رابطه ای بین برای اثبات درستی این رابطه باید مسأله را کمی ساده تر کنیم e‌ و f و n‌ پیدا کنند.

.برای این منظور آن را از حالت فضایی به روی صفحه منتقل می کنیم. توضیح دهید که چون این رابطه تنها به تعداد وجه‌ها و راس‌ها و ضلع‌ها وابسته است، پس درستی آن با کشیدن ، فشار دادن و یا خم کردن چندوجهی تغییر نمی کند. یکی از وجه های چندوجهی را برمی داریم و شکل باقی مانده را مثل تصویر زیر روی صفحه باز می‌کنیم. ( می‌توانید با باز کردن یک چندوجهی کاغذی موضوع را روشن تر کنید. البته از آ ن جا که کاغذ کش نمی آید این کار مشکلاتی دارد و باید آن را برای دانش آموزان توضیح دهید.

 

 

 

 

 

 

 

 

اجسام افلاطونی

در یونان قدیم ، گروهی از مردم ، بیشتر وقتشان را صرف مطالعه ی اعداد و شکل ها می کردند و موهومات و خرافات فراوانی در مورد عددها و شکل ها برای خود می ساختند. آن ها معتقد بودند که اساس هستی از چهار عنصر آتش ،خاک،باد و آب تشکیل شده است. در این تفکر،چهاروجهی ،شش وجهی ،هشت وجهی و بیست وجهی هر کدام نشانه ی یکی از عنصرها بودند. دوازده وجهی هم به طرزی ناشناخته ، با کل هستی ارتباط داشت .

فیثاغورس ، اولین کسی بود که روی این حجم ها کار کرد ولی چون این نظرها در کتاب افلاطون آمده است به نام اجسام افلاطونی مشهور شده اند . این حجم ها آن قدر جالب بودند که از زمان افلاطون تا رنسانس (نوزایی) مورد بررسی و تجزیه و تحلیل قرار می گرفته اند .

مثلث عروس چیست ؟

هزاران سال پیش ، مصریان در سرزمین باستانی خود که مهد تمدن بود ؛ در کنار رود نیل ، کشاورزی می کردند . آن ها کاخ های عظیمی در این سرزمین ساخته اند .

آیا اهرام مصر را دیده اید؟ آیا می دانید مصریان باستان ، چگونه گوشه های این بناهای عظیم را قائمه ساخته اند؟ آیا باور می کنید که آن ها این کار را به کمک یک ریسمان انجام داده باشند؟

مصریان با 11 گره، ریسمان را به 12 قسمت برابر تقسیم می کردند. دو سر ریسمان را به هم گره میزدند. در محلی که می خواستند زاویه ی قائمه بسازند، یک میخ می کوبیدند. یک گره ریسمان را به پشت این میخ می انداختند، سپس سه گره می شمردند و ریسمان را می کشیدند تا صاف شود. گره سوم را با میخ به زمین ثابت می کردند. دوباره سراغ گوشه ی زمین می رفتند؛ این بارچهار گره از طرف دیگر می شمردند. ریسمان را صاف می کردند و گره چهارم را به زمین ثابت می کردند.

کاری که مصریان باستان انجام می دادند، در اصل ، ساختن یک مثلث بود. طول ریسمان در دو طرف گوشه ی زمین، سه قسمت و چهار قسمت و در مقابل پنج قسمت بود. امروزه ما میدانیم مثلثی که اضلاع 3و4و5 داشته باشد، طبق عکس رابطه ی فیثاغورس ، مثلث قائم الزاویه است.

در گذشته این مثلث، به مثلث عروس معروف بوده است.

تاریخچه ی عدد p :

عدد p (پی) سرگذشتی حداقل 3700 ساله دارد. پی یکی از مشهور ترین عددها در دنیای ریاضی است. و نماد p یکی از حروف الفبای لاتین است.ساده ترین و بهترین راه معرفی p این است :

قطر دایره/محیط دایره = p

در طول این 37 قرن، دانشمندان زیادی سعی کردند مقدار p را حساب کنند. به عبارت دیگر آن ها سعی کردند تا نزدیک ترین عدد به عدد p را به دست آورند

 

داستان حجم های منتظم

چند وجهی را هنگامی منتظم نامند هر گاه مساحت وجوه یا رخهای آن چند ضلعیهای منتظم برابر و کنجهای آن هم برابر باشند. گر چه چند ضلعیهای منتظم ار هر مرتبه ای موجودند، ولی تنها پنج چند وجهی منتظم متفاوت وجود دارند چند وجهیهای منتظم از روی تعداد وجود آنها نامگذاری می شوند. 

مثلا چهار وجهی با چهار وجه مثلثی، شش وجهی، یا مکعب، با شش وجهی مربعی، هشت وجهی با هشت وجه مثلثی، دوازده وجهی با دوازده وجه پنج صلعی، و بیشت وجهی با بیست وجه مثلثی را داریم (نگاه کنید ب شکل یک). 

تاریخ نخستین این چند وجیهیهای منتظم در تاریکی فراموشی روزگار گذشته از یاد رفته است. بررسی ریاضی آنها در ماله هشتم اصوصل اقلیدس آغاز شد. اولین حاشیه بر این مقاله خاطر نشان می سازد که این مقاله "اجسام موسوم به افلاطونی را بررسی می کندش، که به غلظ چنین نام یافته اند، زیر سه تا از آنها، یعنی چهار وجهی، مکعب، و دوازده وجهی منسوب یه فیثاغورسیان است، در حال که هشت وجهی و بیست وجهی و بیست وجهی به تئایتتوس منسوب می باشد." این مطلب می تواند حقیقت داشته باشد. 

به هر حال، افلاطون توصیفی از هر پنج چند وجهی متنظم داده است؛ وی در کتاب "تیمایوس" خود نشان می دهد که چگونه می توان نمونه هایی از اجسام توپر را با ترکیب مثلثها، مربعها، و پنج ضلعیهایی که وجوه آنها را تشمیل می دهند، ساخت. 

تیمایوس افلاطون همان تیمایوس لوکریسی پیروفیثاغورث است که از قرار معلوئم افلاطون وی را به هنگام دیدار از رم دیده است. در این اثر افلاطون، تیمایوس چهار جسم توپز را که به آسانی می توان ساخت- چهار وجهی، هشت وجهی، بیتس وجهی، و مکعب- را به صورت رمز گونه ای با چهار "عنصر" نخستین کلیه اجسام مادی- آتش، باد، آب و خاک- مربوط می سازد اینکه همه اجسام جهان زیر قمر از چهار یا پنج عنصر ساخته شده است ظاهرا از هندیها گرفته شده است. اشکال مربوط به توجیه جسم توپزر پنجم، دوازده وجهی، با انتساب آن به جهان پیراموان حل میشود. 

یوهان /کپلر (1009/950هخ) اخترشناس، ریاضیدان، و عالم معانی با طنی اعداد توضیح استادانه اتی برای انتشابهای تیمایوس ارائه کرد. وی به طور شهودی پذیرفت که از بین اجسام توپر منتظم، چهار وجهی کوچکترین حجم را نسبت به سطح خود محصور می کندشف در حالی که بیست وجهی بیشترین حجم را در بر م گیرد. حال این نسبتهای حجم به سطح به ترتیب کیفیتهای خشکی و تری هستند، و چون آتش خشکترین این چهار "عنصر" و آب نمناکترین آنهاست، چهار وجهی باید مظهر آتش و بیست وجهی مظهر آب باشد. 

مکعب با خاک مربوط است زیرا مکعب، که استوار بر یی از وجوه مربع شکل خود تکیه می کند، بیشترین پایداری را دارد. از سوی دیگر، هشت وجهی وقتی که دو راس متقابل آن به آرامی بین دو انگشت سبابه و شست نگهداشته شود، به آسانی می چرخد و ناپایداری باد را دارد. رانجام دوازده وجهی با جهان مربوط میشود، زیرا دوازده وجهی دارای 12 درجه است و منطقه البروج نیز 12 علامت دارد. 


کلر که قوانین سه گانه وی درباره حرکت سیاره در منظومه شمسی معروف ات و اخترشنا پرآوازه است در ضمن مرد تقریبا خرافاتی هم بوده است مثلا از راه فال بینی امرار معاش می کرد و علاوه بر اخترشناسی یا نجوم به اخترشماری یا تنجیم و علاوه بر آن مانند افلاطونیان به نوعی نظم هندسی نیز اعتقاد دان که البته این اعتقاد را بر پایه های علمی به دست نیاورده بود و به هر حال بر اساس همین اعتقادها، چون در آن زمان هنوز پنج سیاره بجز زمین شناخته نشده بود، از اینرو می کوشیدذ با داخل کردن حجم منتظم معینی در درون دیگری- مثلا مکعبدر درون هشت وجهی و... و جا دادن سیاران شناخته شده، در لابه لای فضاهای برجای مانده این حجم، به زعم و پندار نادرست خود، نظم هندسی جهان را دریابد که پس از سالها کوشش بیهوده، سرانجام متقاعد شد که سیارات از چنین نظم کپلری پیروی نمی کنند 
. 
چهار و.جهی، مکعب، و هشت وجهی را در طبیعت به صورت بلور، مثلا به تتیب در سدیم سولفانیتیمونات، نمک معمولی، و زاج کروم می توان یافت. دو تای دیگر نمی توانند به شکل بلور پدید آیند، ولی به صورت استخوان بندی جانوران دریایی ذره بینی که رادیولاریا نامیده می شوند، مشاهده شده اند. در سال 1264 هخ یک چهار وجهی منتم اسباب بازی از ریشه اتروسکی، تصور یشود به 1200 سال پیش از هجرت برگردد، در مونته لوفا نزدیک پادواردر ایتالیا از زیر خاک در آمد. 
امروزه حجم های منتظم تنها حجم های منظم هستند و دیگری کسی در اندیشه تحمیل آنها بر طبیعت نمی باشد و راستی شمار آنها تنها پنج تاست؟

هندسه هندسه(geometry) که آن را از ریشه یونانی(geometers) می دانند به معنای مساحی و نقشه برداری است.

یونانیان هندسه مبتنی بر برهان و اثبات را نظم و ترتیب دادند، فیثاغورث اصول اولیه آن را به منزله پایه منطق هندسی بسط داد و نتایج آن توسط اقلیدس به صورت خلاصه درآمد.

تناسبات و زیبایی و هماهنگی جهان و رابطه موسیقیایی بین اجزاء جهان به عنوان زیربنای طبیعت به فیثاغوریان نخستین در یونان باستان باز می گردد. اساس هندسه قرن ها تغییری نکرد، به ویژه تا قرن هفدهم که رنه دکارت با ترکیب هندسه و جبر، هندسه تحلیلی را بنیان نهاد، در قرن نوزدهم هندسه نا اقلیدسی یا هندسه ریمانی اصول اولیه و کلیدی هندسه را زیر و رو کرد. اخیراً از هندسه فراکتال سخن می‌رود.

شکل از تحدید فضای ساخته شده نتیجه می شود، اعداد آحاد این تعین فضائی اند و هندسه مبین «تشخص» این اعداد.

انتظام و تناسب به منزله قوانینی کیهانی اند و بر عهده آدمی است تا فرایند ایشان را از راه حساب ، هندسه و هماهنگی دریابند. نسبت شکل با تناسب همانگونه است که نسبت نواخت (ریتم) به زمان و هماهنگی به صدا.

احجام افلاطونیFPRIVATE "TYPE=PICT;ALT=ؕفلؕطون"

 

وحدت و سادگی نهفته در احجام افلاطونی مانند چهاروجهی منتظم به مثابه ساده‌ترین جسم ، با هشت وجهی و بیست وجهی منتظم در یک دست و مکعب و دوازده وجهی در دست دیگر، در ذرات افلاطونی بیش از دو هزار سال نقش محوری داشته است. از آرایش این عناصر، طی قرن ها ترکیبات بسیاری نشأت گرفته که در پی بیان معرفت کائنات و مفاهیم لاهوتی و فوق طبیعی بوده و نیز افسانه شناسی سرشاری را موجب شده که هنوز هم ما آن را به مثابه جوهر و اصل علم سنتی می شناسیم۱. گامبریج در کتاب خود: احساس نظم ضمن اشاره به رساله تیمائوس اثر افلاطون ارتباط میان ترکیب احجام افلاطونی با عناصر اربعه را نشان می دهد. بدین قرار که در رساله تیمائوس اثر افلاطون درباره اجزاء تشکیل دهنده اصلی و بنیادی جهان سخن از این آغاز می شود که خلاء وجود ندارد. جهان ساختاری است پر از اجسام صلب و سه بعدی و مانند اتم که هر یک از عناصر اربعه در آن با اجسام منظم تناظر و توافق دارد. آنگاه که مشیت الهی بر این قرار گرفت که جهان را از آشوب و بی نظمی بیافریند ( بی نظمی را به نظم مبدل ساخت ) نخست آن را به وسیله اشکال و اعداد مشخص نمود، به مانند کار قالب سازی که عناصر اصلی و بنیادی کارش از مثلث تشکیل شده باشد، از میان چهار عنصر آتش و خاک و آب و هوا، مکعب (شش وجهی منتظم) را به خاک، چهار وجهی منتظم را به آتش، هشت وجهی منتظم را به هوا و بیست وجهی منتظم را به آب و آخر دوازده وجهی منتظم را به آرایش جهان نسبت داد.

کره بر تمام این احجام محیط می شود. کره شکلی است مظهر کمال، تمامیتی است که همه امکانات در جهان محدود را شامل می شود و شکل آغازینی است که کلیه اشکال دیگر و به ویژه در بحثی که در اینجا پیش گرفته ایم، پنج چندوجهی منتظم معروف به اجسام افلاطونی را در بر می گیرد.

برخی از متفکران اسلامی مانند ابوریحان بیرونی از رابطه میان اشکال منتظم و عناصر چهارگانه به پیروی از افلاطون در رساله تیمائوس سخن گفته اند. بیرونی بدون بسط افکار افلاطون تنها به ذکر آن پرداخته است.

افلاطون در رساله تیمائوس گفته است:

اگر آتش نباشد مشکل است چیزی را بتوان دید، و اگر سختی نباشد نمی توان لمس کرد، و بدون خاک سختی نیست. از این رو صانع چون شروع به ساختن جسم جهان کرد نخست آتش و خاک را به هم آورد و با (دو رابط) آب و هوا را در وسط خاک و آتش قرار داد و در میان همه آنها تناسبی واحد برقرار ساخت تا نسبت آتش به هوا عیناً چون نسبت هوا به آب، و نسبت هوا به آب مانند نسبت آب به خاک باشد، و از امتزاج و پیوند آنها جهانی دیدنی و قابل لمس به وجود آورد. بدین ترتیب از پیوند این چهار عنصر، جسم جهان پدید آمد و در پرتو تناسب، توازن و هماهنگی در دوران او حکمفرما گردید سپس صانع جهان شکلی هم به او داد که در خور اوست و با ذات او خویشی دارد: برای هر موجود زنده ای که باید بر همه موجودات زنده محیط باشد شکلی برازنده است که محیط بر همه اشکال دیگر است. از این رو جهان را گرد کرد و به شکل کره درآورد، چنان که فاصله مرکز آن با هر نقطه از محیطش یکسان شد. این شکل کامل ترین اشکال دیگر برتری دارد و سازنده این جهان برابری را هزار بار زیباتر از نابرابری یافت استاد روح را در مرکز جهان قرار داد و به گسترش آن در سراسر وجود جهان قناعت نورزید بلکه تن جهان را از بیرون نیز با آن بپوشانید. بدین سان کل جهان را به صورت کره ای درآورد که دارای حرکتی دورانی است. صانع جهان روح را چنان آفرید که خواه از حیث زمان پیدایش و خواه از حیث کمال مقدم بر تن باشد.

اینکه آتش و آب و هوا و خاک جسمند بر کسی پوشیده نیست. اما از خصوصیات جسم یکی ارتفاع (= یا عمق) است و ارتفاع بالضروره مستلزم رویه (سطح) است و هر رویه هموار از مثلث هایی تشکیل یافته، مثلث ها اصولاً به دو نوع برمی گردند که هر یک دارای یک زاویه قائم و دو زاویه حاده است: یکی دارای دو ضلع برابر است و دو زاویه حاده آن نیز دو نیمه برابر یک زاویه قائمه است. در نوع دوم زاویه حاده دو بخش نابرابر زاویه قائمه ای هستند که به وسیله دو ضلع نابرابر به دو قسمت تقسیم شده است. از این رو اگر بخواهیم احتمال نزدیک به حقیقت را در قلمرو ضرورت نابینا پیدا کنیم ناچاریم عناصر اصلی آتش و اجسام دیگر را در این دو نوع مثلث جست وجو کنیم. عناصر اصلی تر و اولی تر را فقط خود خدا و آنان که خدا دوستشان دارد، می شناسد.

 

FPRIVATE اجسام افلاطونی

در یونان قدیم ، گروهی از مردم ، بیشتر وقتشان را صرف مطالعه ی اعداد و شکل ها می کردند و موهومات و خرافات فراوانی در مورد عددها و شکل ها برای خود می ساختند. آن ها معتقد بودند که اساس هستی از چهار عنصر آتش ،خاک،باد و آب تشکیل شده است. در این تفکر،چهاروجهی ،شش وجهی ،هشت وجهی و بیست وجهی هر کدام نشانه ی یکی از عنصرها بودند. دوازده وجهی هم به طرزی ناشناخته ، با کل هستی ارتباط داشت . فیثاغورس ، اولین کسی بود که روی این حجم ها کار کرد ولی چون این نظرها در کتاب افلاطون آمده است به نام اجسام افلاطونی مشهور شده اند . این حجم ها آن قدر جالب بودند که از زمان افلاطون تا رنسانس (نوزایی) مورد بررسی و تجزیه و تحلیل قرار می گرفته اند . مثلث عروس چیست ؟ هزاران سال پیش ، مصریان در سرزمین باستانی خود که مهد تمدن بود ؛ در کنار رود نیل ، کشاورزی می کردند . آن ها کاخ های عظیمی در این سرزمین ساخته اند . آیا اهرام مصر را دیده اید؟ آیا می دانید مصریان باستان ، چگونه گوشه های این بناهای عظیم را قائمه ساخته اند؟ آیا باور می کنید که آن ها این کار را به کمک یک ریسمان انجام داده باشند؟ مصریان با 11 گره، ریسمان را به 12 قسمت برابر تقسیم می کردند. دو سر ریسمان را به هم گره میزدند. در محلی که می خواستند زاویه ی قائمه بسازند، یک میخ می کوبیدند. یک گره ریسمان را به پشت این میخ می انداختند، سپس سه گره می شمردند و ریسمان را می کشیدند تا صاف شود. گره سوم را با میخ به زمین ثابت می کردند. دوباره سراغ گوشه ی زمین می رفتند؛ این بارچهار گره از طرف دیگر می شمردند. ریسمان را صاف می کردند و گره چهارم را به زمین ثابت می کردند. کاری که مصریان باستان انجام می دادند، در اصل ، ساختن یک مثلث بود. طول ریسمان در دو طرف گوشه ی زمین، سه قسمت و چهار قسمت و در مقابل پنج قسمت بود. امروزه ما میدانیم مثلثی که اضلاع 3و4و5 داشته باشد، طبق عکس رابطه ی فیثاغورس ، مثلث قائم الزاویه است. در گذشته این مثلث، به مثلث عروس معروف بوده است. تاریخچه ی عدد p : عدد p (پی) سرگذشتی حداقل 3700 ساله دارد. پی یکی از مشهور ترین عددها در دنیای ریاضی است. و نماد p یکی از حروف الفبای لاتین است.ساده ترین و بهترین راه معرفی p این است : قطر دایره/محیط دایره = p در طول این 37 قرن، دانشمندان زیادی سعی کردند مقدار p را حساب کنند. به عبارت دیگر آن ها سعی کردند تا نزدیک ترین عدد به عدد p را به دست آورند. قدیمی ترین محاسبه ی به دست آمده، به 1700 سال پیش از میلاد مسیح (ع) ، یعنی حدود 3700 سال پیش مربوط می شود. این محاسبات روی پاپیروسی نوشته شده است که در حال حاضر، در "مسکو" نگهداری می شود. اولین محاسبه ی ریاضی p ، توسط ارشمیدس و با کمک چند ضلعی ها انجام شد. او با 96 ضلعی منتظم، عدد پی را بین دو کسر 70/10 ‚3 و71/10 ‚3 به دست آورد .(تذکر:علامت / نشانه ی خط کسری است). "لودلف وان کولن" آلمانی ، در قرن هفدهم به کمک 720 ‚254 ‚212 ‚32 ضلعی منتظم، مقدار p را تا 32 رقم اعشار حساب کرد. "غیاث الدین جمشید کاشانی" معروف به "الکاشی" در کتاب رساله ی محیطیه، p را تا 17 رقم پس از ممیز حساب کرده است. "بهاسیک هندی" در سال 1150 میلادی، آن را به صورت کسر 7/22 یا جذر 10 نشان داده است. "جان وایس" ریاضی دان انگلیسی برای p ، نسبت زیر را پیشنهاد کرد: (...×5×5×3×3×1×1 ) / (...×6×6×4×4×2×2) = 2/p "لایپ نیتس " آلمانی به عبارت زیر دست یافت : ...+۱/۱۱-۱/۹+۱/۷-۱/۵+۱/۳-۱=۴/p در سال 1949 میلادی، به کمک رایانه ی اینیاک ، پی تا 2037 رقم محاسبه شد. به تازگی برادران "چودنوفسکی" با بیش از پنج سال کار مداوم به کمک رایانه، p را تا 1011196691 رقم اعشار حساب کرده اند . اگر می خواهید عدد p را تا ده رقم اعشار به خاطر بسپارید تعداد حروف کلمات، در بیت دوم این شعر به شما کمک خواهد کرد : گر کسی از تو بپرسد ره آموختن p پاسخی ده که هنرمند تو را آموزد خرد و دانش و آگاهی دانشمندان ره سرمنزل مقصود بما آموزد ۳ . ۱ ۴ ۱ ۵ ۹ ۲ ۶ ۵ ۳ ۵ =۳/۱۴۱۵۹۲۶۵۳۵

 

عنوان : چند وجهی ها

نظرات شما عزیزان: